山径文学社作品(夕阳浅唱)
作者的话:作为曾经的数学老师,最近我在今日头条上看到有关“3n+1猜想”的文章,心血来潮,也对猜想进行了一些探索。由于自己孤陋寡闻,不知道是否与别人的思路雷同。但不管怎样,这也是自己的劳动成果,姑且先记录下来,就教于方家。
因何感觉“猜想”奇妙?一是简单,小学生都能理解;二是复杂,提出了至今70多年人们还无法解决的问题。因此,我想让猜想更大范围地传播,期待年轻的数学爱好者有兴趣去研究。若能解决,将使我感到无限的荣幸。
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对“3n+1猜想”的思考
向本清
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3n+1猜想为:任意给定正整数N,当N为偶数时,将它若干次除以2,变为一个奇数,当N为奇数时,将它乘以3,再加上1,变为一个偶数,经过有限次这样的操作之后,使它变为1。
3n+1猜想又称为考拉兹猜想,角谷猜想,哈塞猜想,乌拉姆猜想,叙拉古猜想或冰雹猜想。
3n+1猜想从上个世纪五十年代提出来之后,很多的数学家和数学爱好者都进行了研究,但到目前为止,既没有被证明,也没有得出反例。人们用计算机对小于的整数都验证了没有问题。当代最伟大的数学家陶哲轩认为,这是人类目前还不可能证明的问题。
笔者自不量力,也对3n+1猜想用初等方法进行了一些探讨,得到了如下的一些结论:
结论1:3n+1猜想只要对形如4k+3的正整数成立,则猜想成立。
这是因为人民己经用计算机对小于的整数都验证了。假设猜想不成立,则至少存在一个正整数,使猜想不成立,设其最小的为M,显然,M不可能为偶数,否则,令M=,则m〈M,M使猜想不成立,故m也使猜想不成立,这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
若M=4k+1,则3, 除以 4得3k+1<M.同样与M是使猜想不成立的最小数矛盾。故M只可能是4k+3形式的数。
再应用数学归纳法知识,由于有验证的基础,我们可以假设猜想对一切小于或等于4k正整数都成立,当n=4k+1时,3(4k+1)+1=12k+4, 除以 4得3k+1<4k,知猜想成立。当n=4k+2时, 除以 2得2k+1<4k,知猜想成立。当n=4k+4, 除以 4得k+1<4k,知猜想成立。故如果能证明n=4k+3时,猜想也成立,根据归纳法原理,知猜想对一切自然数都成立。
结论2:设M是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的最小正整数,则
证明:设K=4m时是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整数,3(4k+3)+1=12k+10,除以2得6k+5,3(6k+5)+1=18k+16=72m+16,除以8得9m+2<4k+3=M,M使猜想不成立,故9m+2也使猜想不成立,这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
设K=3m+1时是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整数,则4k+3=3(k+1)+K=3(k+m+1)+1,故k+m+1也使猜想不成立,而k+m+1<M=4k+3,这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
设,
则除以2得+,再乘以3加1得。若,除以4则有+,乘以3加1得+
若 除以4得+
此时有k=8m+2.类似地,若或即分别有k=8m+5;32m+14.可得4k+3经过变换后小于4k+3.
我们把奇数a“经过乘3加1后变成一个偶数,再用2将其连续整除至一个奇数”的过程称为数a的一次变换。
结论3:数a经过m次变换后得到的奇数a(m),有
要证明3n+1猜想,只要证明是正整数)
即证明: 把上面式子中3的幂和a全部写成2的幂(即类似于前面4k+3相当于二进制的表示)的形式,从理论上讲,对于任意给定的正整数a,只含有k-2个是零或1的系数,我们一定可以找到适当的一组m,b和r的值,使等式成立。从而3n+1猜想得到证明。
如果把每次乘以3加1和除以2都算做一步,那么,共计要进行步操作。
虽然从理论上讲可以找,但是具体去找是很难的。比如27,我找了,m=40,r=4,40个b的值,下标分别为2,7,8,10,13,17,21,23,34,35的十个数的值都是2,下标分别为18,29,37三个数的值都是3,下标为33,36两个数的值都是4,下标为40的数的值为5,其余24个数的值都是1。共计要操作111步。
另外,猜想证明的思路可以考虑证明或者在结论2中 多找一些k的值,使其覆盖全体正整数。(2023.9)
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(数学家陈景润,心中的偶像)
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本文作者简介:向本清老师出生于湖南武冈偏僻农村,在原转龙完小求学至高中而回乡修理地球(务农)快五年,在工厂当合同工两个多月,与方程、函数和微积分为伍四载(湖南师院),在湖南城步苗乡的三尺讲台上一站34年。
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(山径文学社肖殿群编辑)